차이를 확인하는 데이터 요약

먹고 싶은 거 먹어, 난 짜장

• 범주형변수는 정해진 갑 중에서하나를 선택해야합니다. 짜장면과 짬뽕, 혹은 볶음밥 중에서 하나를 선택해야 하지 그 중간을 없습니다.
• 짜장면, 짬뽕, 볶음밥과 같이 범주형 변수가 변수가 가질 수 있는 한정적인 값들을 수준(Level) 이라고 합니다.

동전던지기

• 동전던지기를 예로 들어보겠습니다. 직접 동전을 하나 던졌다가 받은 뒤 앞면인지 뒷면인지 기록해봅시다. 반복 횟수는 10번이고 그림이 나오면 "앞" 숫자가 나오면 "뒤"라고 적습니다.
• 한눈에 보기 좋게 정렬 개념을 활용해서 값들은 줄 세워 볼까요?

횟수	1	2	4	8	9	10	3	5	6	7
수준(앞/뒤)	앞	앞	앞	앞	앞	앞	뒤	뒤	뒤	뒤

• 수준을 내림차순으로 정렬하고 나니 같은 값, 같은 수준을 가지는 관측치들끼리 나눠집니다.
• 그럼 이제 10개 중에서 앞면이 몇번 나왔는지, 뒷면이 몇 번 나왔는지 손쉽게 셀 수 있습니다.
• 표로 정리해보겠습니다.

수준	앞면	뒷면
횟수	6	4

• 표로 정리하고 나니 마치 관측치가 2개인 연속현 변수와 비슷하게 생겼습니다.
• 전체 10개 중에서 앞면은 6번, 뒷면은 4번 나왔습니다.
• 이론적으로 아주 공정한 상황이였다면 앞면이 5번, 뒷면도 5번 나왔겠지만, 제 동전 던지기에서는 앞면이 더 많이 나왔다는 것을 알 수 있습니다.
• 지금은 수준이 "앞"과 "뒤" 2개밖에 없어서 숫자만 살펴봐도 변수를 파악할 수 있지만, 거주지역이나 연령대처럼 범주형변수의 수준 개수가 많으면 숫자만으로는 파악하기 힘듭니다.
• 그래서 우리는 직관적으로 받아들일 수 있는 그림, 그래프를 활용해서 숫자를 표현하겠습니다.

파이차트와 막대그래프

• 수준들이 원 모양의 파이 하나를 두고 각각의 비중에 따라 조각을 나눠 갖습니다.
• 중심각의 크기로 전체 중에서 각 수준의 비중에 얼마만큼인지를 표현하는 것이죠.
• 막대 그래프는 가끔 히스토그램이랑 헷갈리기도 하는데요. 히스토그램은 가로축에 연속형 변수가 들어와서 적절한 구간으로 나누는 중간 과정이 있습니다. 구간 간격을 어떻게 나누느냐에 따라 모양이 달리지기도 하고요.
• 반면 막대그래프는 가로축에 범주형 변수가 들어오기 때문에 구간으로 나눌 필요가 없습니다.
• 동전 데이터는 수준이 2개뿐이라서 어떤 그래프든 한눈에 결과를 확인 할 수 있지만, 수준의 수가 늘어나면 파이 차트보다는 막대그래프가 더 효율적입니다.
• 막대 그래프는 수준이 늘어나도 막대만 추가하면 되지만, 파이 차트의 전체 각도는 360도로 고정되어 있고 수준의 수가 많을 수록 중신각이 잘게 쪼개져서 데이터를 한눈에 보기 어렵기 떄문이죠.

part 1

차이를 확인하는 데이터 요약

물수능과 불수능

• 100 점이 모두 똑같은 100점은 아닙니다. 100점보다 나은 80점이 있을 수도 있죠.
• 평균과 표준편차를 활용해서 표준점수라고 하는 상대적인 점수를 만들었습니다.

표준화

• 물수능 학번 학생과 불수능 학번 학생은 항상 티격태격 댑니다. 대부분 절대적인 점수가 낮은 불수능 쪽이 투덜대곤 하죠.
• 불수능 80점이 물수능 100점보다 낫다는 겁니다. 둘이서 다시 수능을 치면 좋겠지만, 현실적으로 어렵습니다.
• 서로 다른 시험에서 얻은 점수를 비교해서 어느쪽이 상대적으로 더 잘한 것인지 확인할 수 있는 방법이 없을까요? 이 질문에 대한 해답은 바로 표준화(Standardization) 입니다.
• 어떤 변수든지 원래 값에서 평균을 뺀 새로운 변수를 만들고 그 평균을 구하면 정확히 0이 나옵니다. 이제 두 점수는 상대적인 차이가 없습니다. 이렇게 각 관측치에서 평균을 빼는 과정을 중심화(Centering) 라고 합니다.
• 각 관측치를 표준편차로 나누는 것을 척도화(Scaling) 라고합니다.
• 중심화를 통해서 단순이 값이 크가 작다가 아니라 평균에 비해서 얼마나 크고 작은지를 확인합니다. 그 다음 척도화를 통해서 단위 차이를 없앤 숫자를 만들어 냅니다.
• 이렇게 계산된 값들은 평균도, 단위도 상관없이 '표준적인 차이'를 의미합니다.
• 어떤 변수를 가져오든 상관없이 표준화를 거친 변수의 평균은 0이 되고 표준편차는 1이 됩니다.

표준화 예제

• 그럼 2011년에 80점을 받은 학생과 2015년에 100점을 받은 학생 중에서 어느 쪽이 상대적으로 잘한 것일까요? 앞서 살펴본 표준화롤 계산을 해봅시다.

2011년 = 80점 - 47.8점 / 19.7점 = 1.63
2015년 = 100점 - 55.4점 / 28.5점 = 1.56

• 시험이 어려우면 어려울수록 점수는 하양평준화됩니다.
• 대부분은 낮은 점수대를 형성하고 일부의 고득점자가 생기죠. 그래서 2011년의 평균점수는 47.8점으로 매누 낮고, 표준편차고 19.8점으로 낮습니다.
• 즉, 2011년의 80점은 중심에서 오른쪽으로 1.63만큼 떨어져 있고, 2015년의 100점은 중심에서 오른쪽으로 1.56만큼 떨어져 있네요.따라서 2011년의 80점이 2015년의 100점 보다 상대적으로 더 낫네요!
• 실제 수능애서는 이렇게 계산된 값에 20을 곱하고 100을 더해서 표준점수를 계산 합니다.
• 그럼 평균은 0에서 100으로 바뀌고, 표준편차는 1에서 20배 늘어난 20이 됩니다.
• 예를 들어, 2011년 수리가형에서 80점을 받은 학생의 표준 점수는 133점(100 + 1.63 * 20 = 132.6)이 됩니다.

part 1

차이를 확인하는 데이터 요약

더치페이와 N빵

평균

• 어떤 변수의 합계가 고정되어 있을 때 모든 관측치가 똑같이 나눠 가질 수 있는 값을 평균(Mean) 이라고 합니다.

• x위에 "모두 같다"라는 의미로 바(-)를 얹어 표현합니다.
• 우리에게 너무나 익숙한 평균속에는 모든 사람이 평등하거나 모든 사람들에게 공평하다는 개념이 들어 있습니다.
• 그러나 평균을 계산하는 순간 역설적이게도 불공평한 현실을 깨닫게 됩니다.
• 키가 170cm인 남자는 대한민국 성인 남성의 평균 키가 174cm라는 것을 아는 순간 시무룩해집니다.
• 시험에서 60점을 받아서 눈물이 나다가도 평균 점수가 30점이라는 것을 알게 되면 입가에 미소가 번지겠죠?
• 이처럼 평균을 계싼하는 순간, 데이터 속에 있던 차이가 보입니다.

분산

• 분산은 관측치들이 평균에서 평균적으로 얼마나 떨어져 있는지를 계산합니다.

• 1단계 각각의 관측치에서 평균을 뺍니다. 평균으로부터 얼마나 차이가 나는지를 계산합니다.

• 2단계 1단계에서 계산한 값을 제곱합니다.

• 3단계 2단계까지는 i번째 관측치 하나에 대한 계산이였는데 3단계에서는 모든 n개 관측치에 대해서 똑같은 계산을 하고, 그 결과를 모두 더합니다. 분산이 한 변수의 특징을 설명하는 것이 아니라 모든 변수의 특징을 설명하는 것이니 모든 관측치를 다 활용하는 것이죠.

• 4단계 3단계에서 구한 합계를 n-1로 나눕니다. 깐깐한 통계한자들이 n이 아니라 n-1로 나누는게 더 좋다는 것을 밝혀버려서 n-1로 나누게 됐지만, 관측치가 많으면 n으로 나누는 것과 큰 차이가 없습니다.

• 물론 어려운 제곱 말고 절댓값을 쓸 수도 있습니다.

• 부호를 없애는 데는 절대값이 제일 간단하지만 이론적으로는 '미분이 가능한' 분산을 더 선호합니다.

• 물론 현실적인 이유도 있습니다. 평균에서 100명이 100원씩 차이를 보이는 것과 2명이 5,000원의 차이를 보이는 것 모두 절댓값으로는 10,000원이라는 같은 차이를 보입니다.

100 * 100원 = 2 * 5,000원 = 10,000원

• 그렇지만 두 번째의 경우가 좀 더 불평등하지 않나요? 분산에 사용된 제곱합을 계산하면 다른 결과가 나옵니다.

100*(100원)제곱 = 1,000,000원 제곱 < 2 * (5,000)제곱 = 50,000,000원 제곱

표준편차

• 그러나 분산은 치명적인 단점이 있습니다. 바로 단위(unit)입니다.
• 평균이 만원이라는 것은 쉽게 이해되지만 5,875,000(원제곱)이라는 큰 숫자의 분산은 납득이 어렵습니다.
• 큰 숫자도 문제지만 더 큰 문제는 원제곱입니다. 우리가 사는 세상 어디서도 원제곱을 쓰는 곳은 없습니다.
• 통계학자가 차이를 설명하기 위해서 만든어 낸 단위죠.
• 어쩔 수 없이 그대로 써야 할까요? 아니 제곱근으로 해결할 수 있습니다.

5,875,000(원제곱)의 제곱근 = 2,424원

• 마법처럼 단위가 원제곱에서 원으로 돌아오고 엄청나게 크던 숫자도 뭔가 납득한 만한 수준으로 줄어들었습니다.
• 분산에 제곱근을 씌워서 단위 문제를 해결한 이 숫자를 표준편차(Standard deviation) 라고합니다.
• 표준편차가 클수록 관측치들이 평균으로부터 더 멀리 떨어져 있다는 뜻이죠.
• 두 값의 의미는 크게 다르지 않지만, 표준편차가 훨씬 덜 부담스럽습니다.

part 1

차이를 확인하는 데이터 요약

순서대로 한줄서기

정렬과 순서 통계량

• 크기에 따라 순서대로 줄 세우는 과정을 정렬이라고 합니다.
• 오름차순으로 정렬된 값을 통계학에서는 순서통계량(order statistics) 이라고 부릅니다.
• 그리고 그중에서 가장 먼저 나오는 값, 즉 가장 작은 값을 최솟값(Minimum), 가장 나중에 나오는 값, 즉 가장 큰 값을 최대값(Maxsimun) 이라고 특별한 이름을 지어줬습니다.

분위수

• 경쟁에서는 점수가 중요한 것이 아니라 위치가 중요합니다.
• 내 점수를 기준으로 나보다 점수가 낮은 사람들과 높은 사람들로 나뉘는 데요. 이렇게 기준이 되는 특정한 점수들을 분위수(Quantile) 라고 합니다.
• 가장 대표적인 분위수가 100등분 기준, 기호 %를 사용하는 백분위수(Percentile) 입니다.
• 최솟값은 0% 지점이 되고, 최대값은 모든 관측치가 최대값보다 작으니 100% 지점이 됩니다.

사분위수와 다섯 숫자 요약

• 분위수를 데이터 분석에 어떻게 활용해야 할까요?
• 50% 지점에 있는 값을 기준으로 관측치들이 정확히 반반으로 나뉘기 떄문에 중앙값(Median) 이라는 이름을 붙여줍니다.
• 0%, 25%, 50%, 75%, 100% 로 총 5개의 지점을 만듭니다. 이 5개의 지점은 데이터를 정확히 4등분 합니다.
• 그래서 사분위수(Quartile)라는 특별한 이름을 지어줬습니다.
• 이처럼 하나의 연속형 변수로 최솟값, Q1, 중앙값, Q3, 최대값이라는 숫자 다섯 개를 계산하고 의미를 찾는 과정을 다섯 숫자 요약(Five number summary) 이라고 합니다.

상자그림

• 구간의 갈이가 모두 똑같지 않습니다. 똑같이 25명씩 들어가 있지만 길이가 긴 구간이 있고 상대적으로 짧은 구간도 있습니다.
• 구간이 널찎하면 관측치가 드문드문 퍼져 있다는 뜻이고 구간이 좁으면 관측치가 빽빽하게 들어 있따는 뜻이죠.
• 관측치가 빽빽하다, -> 경쟁이 치열하다.

히스토그램

• 히스토그램은 상자그림과 달리 먼저 구간을 적절히 나눕니다. 그리고 각 구간에 포함되는 관측치가 몇 개나 있는지 개수를 세어 도수분포표(Frequency distribution table)를 만들고, 이 표를 그림으로 표현합니다.
• 가령 75~85점의 중상위권에 연습생들이 많이 몰려 있고 85점 이상의 고득점 연습생 수가 적다는 걸 알 수 있습니다.

Part 1

|이름|성별|몸무게|
|김철수|여|48|
|이영희|남|80|

치킨 뜯고 공부하자 100일 프로젝트 대망의 첫날

이포스팅은 루비출판사에서 진행하는 공부하고 치킨 먹는 프로젝트의 후원을 받습니다.^^ http://m.post.naver.com/viewer/postView.nhn?volumeNo=12359301&memberNo=38315694&vType=VERTICAL

머릿말

part1

머릿말. 데이터 분석을 배우기 위해서 우리는 어디서부터 시작해야 할까요?

• 아무리 복장합 데이터 분석도 목적과 과정을 살펴보면 어떤 차이를 확인하고 설명하려 합니다.
• 통계학은 차이를 수학이라는 도구로 풀어냅니다.

프롤로그

1. 문법보다 회화
2. 차이를 이하해기 위한 통계
   • 진짜 목표는 데이터 속에 있는 차이는 확인하고 설명하는 것.
3. 불확실성을 설명하는 통계
4. 과거와 현재, 미래가 소통하는 언어

목차

PART 1 차이를 확인하는 데이터 요약

1. 줌아웃
2. 날줄과 씨줄
   • 데이터의 구성, 데이터와 데이터 공간
   • 알파벳을 활용한 예제 데이터의 표현, 기술 통계량과 변수 요약
3. 순서대로 한줄서기
   • 정렬과 순서 통계량, 분위수, 사분위수와 다섯 숫자 요약, 상자그림, 히스토그램
4. 더치페이와 N빵
   • 평균, 분산, 표준편차
5. 물수능과 불수능
   • 표준화, 표준화 예제
6. 먹고 싶은거 먹어, 난짜장
   • 동전던지기, 파이차트와 막대 그래프
7. 0.000012%의 꿈, 로또
   • 확률, 확률을 활용한 당첨 번호 예측, 데이터 분석과 확률

PART 2 차이를 설명하는 통계 개념

1. 범인은 이 안에 있다.
2. 부전자전, 유전 연결고리
   • 산점도, 상관관계, 상관계수
3. 40% 니가 하면 나도한다.
   • 교차표, 행, 백분율과 열 백분율, 열지도, 독립
4. 최저가, 알고 보니 옵션가
   • 조건부 확룰과 심슨의 역설
5. 아낌없이 주는 의사결정 나무
   • 모자이크 그림, 의사결정나무 모형
6. 점심 뭐 먹지?
   • ABCDEF 테스트, 분산과 분산분석

PART 3 차이를 예측하는 통계 모형

1. 우연과 운명 사이
2. 지구는 우주의 티끌
   • 표본과 모집단 통계량과 분포, 자연스러운 확률
3. 웬만해선 이길 수 없다.
   • 유의수준, 필요학과 같은 분포, 키의 히스토그램 정규분포
4. 남자평균 174.9cm, 여자평균 162.3cm
   • 표본평균의 표준편차, 표본평균의 표준편차 계산, t-값과 t-분포
   • t-분포, p-값과 t-테스트
5. 관계 검증을 위한 테스트
   • t-검정을 활용, 카이제곱분포를 활용한 독립성검정
   • F-분포를 활용한 분산분석
6. 아빠 키유전 확률, 25%
   • 다시 한번 상관계수, 선형회귀모형, 부모 맘 같지 않은 자식

PART 4 데이터 분석 도구, R

1. 그것이 R고싶다.
2. R 시작하기
   • R설치, R Studio 설치, R Studio 실행
3. 순서대로 살펴보는 BR31
4. R로 분석 다시 보기
   • 하나의 연속형 변수를 요약하기, 하나의 변주형 변수를 요약하기
   • 두 개의 범주형 변수의 관계 찾기, 두개의 연속형 변수의 관계 찾기
   • 차이를 설명하는 간단한 통계 모형 살펴보기
5. 대학만 가면 끝일 줄 알았는데