part 1
차이를 확인하는 데이터 요약
물수능과 불수능
- 100 점이 모두 똑같은 100점은 아닙니다. 100점보다 나은 80점이 있을 수도 있죠.
- 평균과 표준편차를 활용해서 표준점수라고 하는 상대적인 점수를 만들었습니다.
표준화
- 물수능 학번 학생과 불수능 학번 학생은 항상 티격태격 댑니다. 대부분 절대적인 점수가 낮은 불수능 쪽이 투덜대곤 하죠.
- 불수능 80점이 물수능 100점보다 낫다는 겁니다. 둘이서 다시 수능을 치면 좋겠지만, 현실적으로 어렵습니다.
- 서로 다른 시험에서 얻은 점수를 비교해서 어느쪽이 상대적으로 더 잘한 것인지 확인할 수 있는 방법이 없을까요? 이 질문에 대한 해답은 바로 표준화(Standardization) 입니다.
- 어떤 변수든지 원래 값에서 평균을 뺀 새로운 변수를 만들고 그 평균을 구하면 정확히 0이 나옵니다. 이제 두 점수는 상대적인 차이가 없습니다. 이렇게 각 관측치에서 평균을 빼는 과정을 중심화(Centering) 라고 합니다.
- 각 관측치를 표준편차로 나누는 것을 척도화(Scaling) 라고합니다.
- 중심화를 통해서 단순이 값이 크가 작다가 아니라 평균에 비해서 얼마나 크고 작은지를 확인합니다. 그 다음 척도화를 통해서 단위 차이를 없앤 숫자를 만들어 냅니다.
- 이렇게 계산된 값들은 평균도, 단위도 상관없이 '표준적인 차이'를 의미합니다.
- 어떤 변수를 가져오든 상관없이 표준화를 거친 변수의 평균은 0이 되고 표준편차는 1이 됩니다.
표준화 예제
- 그럼 2011년에 80점을 받은 학생과 2015년에 100점을 받은 학생 중에서 어느 쪽이 상대적으로 잘한 것일까요? 앞서 살펴본 표준화롤 계산을 해봅시다.
2011년 = 80점 - 47.8점 / 19.7점 = 1.63
2015년 = 100점 - 55.4점 / 28.5점 = 1.56
- 시험이 어려우면 어려울수록 점수는 하양평준화됩니다.
- 대부분은 낮은 점수대를 형성하고 일부의 고득점자가 생기죠. 그래서 2011년의 평균점수는 47.8점으로 매누 낮고, 표준편차고 19.8점으로 낮습니다.
- 즉, 2011년의 80점은 중심에서 오른쪽으로 1.63만큼 떨어져 있고, 2015년의 100점은 중심에서 오른쪽으로 1.56만큼 떨어져 있네요.따라서 2011년의 80점이 2015년의 100점 보다 상대적으로 더 낫네요!
- 실제 수능애서는 이렇게 계산된 값에 20을 곱하고 100을 더해서 표준점수를 계산 합니다.
- 그럼 평균은 0에서 100으로 바뀌고, 표준편차는 1에서 20배 늘어난 20이 됩니다.
- 예를 들어, 2011년 수리가형에서 80점을 받은 학생의 표준 점수는 133점(100 + 1.63 * 20 = 132.6)이 됩니다.